多目标规划的对偶模型怎么写？偏差变量怎么处理？

软件 2022-10-26

目标规划模型怎么确定达成函数偏差变量

目标函数中系数大的自变量最后计算结果不一定会大分析一下如目标函数为3124x-3200y=k 其中的系数较大了若线性规划的极值点是过点（0，0)，此时k=0 这个结果就较简单啊！

多目标规划中如何用matlab或lingo序实现优先级Pi和正负偏差变量d的编写？就是说d+、d-用什么符号表示？

从你给出的形式看，这是一个非常简单的线性规划题，只要把偏差量理解成x3-x10即可：

%目标规划
%x3=d1-,x7=d1+
%x4=d2-,x8=d2+
%x5=d3-,x9=d3+
%x6=d4-,x10=d4+
f=zeros(10,1);
f([78])=[23];
A=-eye(10);
b=zeros(10,1);
A1=[11;10;53;11];
A2=[eye(4)-eye(4)];
A3=zeros(1,10);
A3(5)=1;
Aeq=[A1A2;A3];
beq=[10;4;56;12;0];
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)

但是，目标规划的偏差变量应该始终满足 d+ * d- = 0，所以，还应该补充4个非线性约束，考虑用linprog的结果作为初值，然后调用fmincon进行规划：

%目标规划
%x3=d1-,x7=d1+
%x4=d2-,x8=d2+
%x5=d3-,x9=d3+
%x6=d4-,x10=d4+
functionzd581643424
f=zeros(10,1);
f([78])=[23];
A=-eye(10);
b=zeros(10,1);
A1=[11;10;53;11];
A2=[eye(4)-eye(4)];
A3=zeros(1,10);
A3(5)=1;
Aeq=[A1A2;A3];
beq=[10;4;56;12;0];
x0=linprog(f,A,b,Aeq,beq);
x=fmincon(@obj,x0,A,b,Aeq,beq,[],[],@nlc)
functionf=obj(x)
f=2*x(7)+3*x(8);
function[c,ceq]=nlc(x)
c=[];
ceq=x(3:6).*x(7:10);

得到的结果是（由于是数值计算，计算得到的结果并不是严格的整数，根据数量级作适当的舍入）：

x1=4

x2=12

d1+ = 6

d4+ = 4

其余为0。

另外，MATLAB中提供了用于多目标优化的函数fgoalattain，但是这个函数怎样和楼主现在的问题形式联系起来，我一时之间没想明白（好多年没接触目标规划了），时间精力所限，就不深入研究了，仅提供这么一个线索，供参考。

运筹学中，目标规划的正负偏差变量，如何确定直线的哪端是正偏差还是负偏差。

一个很好用的方法：比如说不等式约束x1+2x2<3，加入正负偏差变量变成：x1+2x2+d1负-d1正=0。取一个特殊的点，比如（0，0），带入原不等式约束，判断它是满足还是不满足该式。例如这里0+0<3成立的，所以直线往（0，0）所在的那一端的是正偏差，另一端是负偏差

多目标规划中的正负偏差变量代表什么意思

d+:表示正偏差变量，表示实际值超过目标值的差值 ; d-:表示负偏差变量，表示实际值未达到目标值的差值;

科技投入效果评价方法选择

（一）科技投入效果评价方法

对科技投入效果评价的研究方法有很多种，主观赋权法中常用的有层次分析法（AHP）和德尔菲法等，主要是在评价过程中由各位专家根据自己的知识和经验对各指标赋予权重，然后由研究人员综合处理，从而得到各指标的最终权重。此种方法简单方便，易于使用，但评价结果受主观因素影响较大；柯布-道格拉斯生产函数也是科技投入效果评价的常用方法，主要从投入产出角度研究科技投入效率，但评价对象的条件假设太过严格，且无法计算科技投入本身的效率高低；非参数方法即数据包络分析方法（DEA）是应用最广泛的方法，主要用来评价多输入和多输出的决策单元的相对有效性。DEA方法不受计量单位影响，多指标同时输入、输出无须事先进行标准化处理，可以避免由于指标量纲不同而需寻求相同度量因素带来的困难，此外，不需要事先给定输入输出指标的权重，也不必确定决策单元的各输入输出之间的显式函数关系，在避免主观因素影响、简化算法、减少误差等方面有着优越性。

由于科技活动具有多投入、多产出的特征，而数据包络分析方法（DEA）适用于具有多个输入和输出变量的复杂系统，因而，DEA方法是评价科技投入效果的理想方法。

（二）数据包络分析方法

1978年，著名运筹学家、美国得克萨斯大学教授 A.Charnes 及 W.W.Cooper 和 E.Rhodes正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络分析（Data Envelopment Analysis，DEA）（Charnes A et al.，1978）。DEA把单输入、单输出的工程效率概念推广到多输入、多输出决策单元（Decision Making Unit，DMU）的有效性评价中，极大地丰富了微观经济中的生产函数理论及其应用技术（马占新，2010）。DEA方法应用广泛，涉及经济管理学科的众多研究领域，如经济效率评价、区域经济研究、资源配置、技术进步与可持续发展、绩效评估、物流与供应链管理、风险评估领域等。

1.C²R模型

1978年，Charnes等人以单输入单输出的工程效率概念为基础提出了第一个DEA模型——C²R模型。C²R模型从公理化的模式出发，刻画了生产的规模与技术有效性，不仅扩大了人们对生产理论的认识，而且也为评价多目标问题提供了有效的途径，使得研究生产函数理论的主要技术手段由参数方法发展为参数与非参数方法并重。此模型不仅可以对决策单元做出有效性度量，而且还能指出决策单元非有效的原因和程度（马占新，2010）。

假设有n个决策单元，每个决策单元都有m种类型的“输入”以及s种类型的“输出”。其中，x_ij为第j个决策单元对第i种输入的投入量，x_ij＞0；y_rj为第j个决策单元对第r种输出的产出量，y_rj＞0；υ_i为对第i种输入的一种度量；u_r为第r种输出的一种度量。i＝1，2，…，m；r＝1，2，…，s；j＝1，2，…，n。具体模型如式（2-1）所示。

我国地质高端科学技术转化与应用机制研究

使用Charnes-Cooper将其变换成为一个等价的线性规划模型式（2-2）：

我国地质高端科学技术转化与应用机制研究

该模型的对偶模型为式（2-3）：

我国地质高端科学技术转化与应用机制研究

为使检验工作简化，引入非阿基米德无穷小量，构造具有非阿基米德无穷小量的DEA模型式（2-4）：

我国地质高端科学技术转化与应用机制研究

式中：λ_j为各单位组合系数，ε为非阿基米德无穷小量，ε常取为极小的正数，如10 ^-6。在实际应用中，θ、s^-、s^＋常用作效益评价的主要指标，θ为效率评价指数，s^-、s^＋为松弛变量。

若θ＝1 ，则决策单元为弱DEA有效；若θ＝1且s^-和s^＋均为0 ，则认为该单位DEA有效，即在现有产出情况下，不宜再减少投入量；其他情况则认为决策单元DEA无效，即用少于现有的投入，就可达到目前的产出。

2.BC²模型

由于规模收益概念在生产分析中的重要性，涵盖了规模收益概念、基于C²R模型的扩展——BC²模型（Banker，1984）被提了出来。它是研究决策单元规模收益可变情况下的效率评价模型（王美强，2009），其模型为式（2-5）：

我国地质高端科学技术转化与应用机制研究

式中：μ无符号约束。

模型的对偶模型为式（2-6）：

我国地质高端科学技术转化与应用机制研究

u为规模收益指示量。若u＜0，规模收益递增；u＝0，规模收益不变；u＞0，规模收益递减。

随后，多种派生和专用DEA模型相继诞生。基于目标规划的正、负偏差变量思想，1986年，Charnes、Cooper和Wei给出了C²W模型，该模型将决策单元的个数由有限多个扩展到无穷多个，该模型是第一个非线性的DEA模型（马占新，2010）。1987年，学者们有构建了锥化率的C²WH模型。2000年Wei提出了逆DEA模型，后又将其推广到具有锥结构的情况（袁群，2009）。

DEA方法的主要运行步骤（曾珍香等，2000）如图2-8所示。

图2-8 DEA运行步骤

DEA具有以下特点：

1）适用范围广。DEA可以用来处理具有多个投入尤其是多个产出的决策单元的相对效率评价，在对文化、经济、科技等不同社会领域评价时都具有很强的应用价值。

2）计算客观、简单。DEA以决策单元的各个投入指标和产出指标的权重为变量进行评价运算，而不是预先借助于主观判定和其他方法确定指标的权重，从而避免了确定权重的误差、使得评价结果更具客观性。同时，DEA也不需要事先决定决策单元的具体投入产出函数形式，使评价方法更具简明性和易操作性。

3）更多的评价信息。DEA通过DMU子集的选择，可以向决策者提供有效决策的管理信息。对于非DEA有效的决策单元，DEA不仅能够指出有关指标的调整方向是应该增加还是减少，而且能够给出具体的数量，以保证它们在调整之后能达到相对有效状态。

4）灵活性好。在运用DEA评价时，评价模型和指标是分离的，不同的模型或不同的指标体系达到不同的评价效果。为了实现评价目的，在对具体问题评价时可结合统计学、模糊数学以及运筹学的相关知识和方法，根据实际情况建立恰当的模型（吕喜明，2005）。

标签：数学自然科学多目标人工智能编程语言